Analyse
La petite histoire
Comprendre simplement
Domaines de présence
Son interprétation dans l'avenir
Les références
Mais encore …
by Pepe ©
 
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L'analyste voit des variations.

La petite histoire  Up Page
Origine, raisons, hasard
L'analyse étudie les fonctions et s'intéresse au calcul infinitésimal. Les fonctions font correspondre les éléments d'un ensemble de départ à ceux d'un ensemble d'arrivée, de façon que tout élément de l'ensemble de départ soit associé à au plus un élément de l'ensemble d'arrivée. Par exemple, la relation qui à tout nombre réel associe son opposé est une fonction de l'ensemble des réels dans lui-même.

Comprendre simplement  Up Page
Vulgarisation, de 7 à 77 ans
A chaque fonction, on associe une représentation graphique. La dérivée d'une fonction en un point, quand elle existe, représente la pente du graphe de la fonction en ce point. Par exemple, si une voiture roule à une vitesse constante le long d'une route, la courbe représentant la vitesse de la voiture en fonction du temps sera une droite horizontale. Sa dérivée, c'est-à-dire la pente du graphe, sera nulle en tout point. Par contre, si la voiture accélère, le graphe de la fonction représentant la vitesse de la voiture ne sera plus horizontal, mais il possédera une pente dirigée vers le haut.
 
[La courbe f représente la vitesse d'une voiture en fonction du temps. Aux points A et B, les tangentes à la courbe représentent les dérivées de f aux temps tA et tB. Au point A, la pente de cette dérivée est dirigée vers le haut: la voiture accélère. Au point B, la pente est nulle : la voiture avance à vitesse constante.]
 
La pente de la courbe (ou la dérivée de la fonction) permet de calculer précisément l'accélération de la voiture en tout point. Mais on peut aussi réaliser l'opération contraire, c'est-à-dire retrouver la vitesse de la voiture à partir de quelques données initiales (notamment la vitesse de départ du véhicule) et si on connaît l'accélération de la voiture. Dans ce cas, le calcul effectué par rapport à la fonction qui mesure l'accélération est une intégration. Graphiquement, le résultat de l'intégrale (c'est-à-dire la vitesse de la voiture) correspond à l'aire de la surface située sous la courbe représentant l'accélération de la voiture.

Domaines de présence  Up Page
Phénomènes physiques

Durant la seconde moitié du XVII ième siècle, le savant anglais Isaac Newton a un problème: il cherche à formaliser l'évolution de phénomènes physiques comme la trajectoire d'un boulet ou la chute d'une pomme. Le but n'est plus d'étudier des formes (comme en géométrie), mais des variations. Or, les outils géométriques, la règle et le compas, ne sont pas adaptés à ce nouvel usage.
Avec le savant allemand Gottfried Wilhelm Leibniz, Newton va alors utiliser les coordonnées cartésiennes pour créer une nouvelle langue mathématique: l'analyse. On n'y parle plus d'inconnues et d'équations (algèbre), ni de coordonnées et de courbes (géométrie), mais de variables et de fonctions. Dérivées, intégrales, calculs de limites ou étude de continuité, tout l'arsenal analytique se met en place.

Son interprétation dans l'avenir  Up Page
Le pont d'Artin, Drinfeld et Lafforgue
Le pont entre l'algèbre et l'analyse (étude de variations des phénomènes) est loin d'être achevé. L'Autrichien Emil Artin (à gauche, sur l'image) ébauche vers 1930, une théorie dite "du corps de classe". Cette théorie fait correspondre à certaines représentations de Galois (celles qui sont "commutatives") des fonctions périodiques particulières, rejoignant ainsi l'analyse harmonique inventée au XIX ième siècle par le Français Joseph Fourier pour analyser les ondes.
En 1955, le mathématicien japonais Yutaka Taniyama propose, sans la démontrer, une formule qui s'applique aux représentations de Galois associées aux équations elliptiques (S&V n°989 page 83). En 1967, le Canadien Robert Langlands trouve la formule généralede correspondance... qui attend toujours d'être prouvée. Reprenant les travaux menés par l'Ukrainien Vladimir Drinfeld (au centre) dans les années 70, le Français Laurent Lafforgue (à droite) vient d'en démontrer toute une partie.
 
Le programme de Langlands
Mais c'est finalement le mathématicien canadien Robert Langlands qui formulera, dans une lettre adressée à André Weil en janvier 1967, la méthode générale de traduction. Il exhibe un ensemble de fonctions harmoniques particulières (les fonctions "automorphes") qui correspondent une à une aux représentations de Galois restantes. Tous ces objets algébriques ont donc leur équivalent analytique. Robert Langlands n'arrive pas à démontrer cette profonde correspondance, mais il trouve de nombreux résultats et des arguments convaincants pour étayer son intuition. "C'est l'un des plus fabuleux énoncés de toutes les mathématiques", s'enflamme Laurent Lafforgue. La démonstration de cette égalité est si importante pour l'étude des nombres qu'elle devient tout un programme. Le programme de Langlands.
Dans les années 70, le mathématicien ukrainien Vladimir Drinfeld ébauche la démonstration de ce programme et en traite un cas particulier décisif. Trois décennies plus tard, après sept ans et demi de recherches personnelles et six cents pages de rédaction, Laurent Lafforgue vient d'achever le programme.

Les références  Up Page
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Je crois que, si les êtres humains que nous sommes ne parviennent pas toujours à évoluer comme ils le souhaiteraient _à s'épanouir professionnellement, sentimentalement et sexuellement (ce que j'appelle les "trois pôles d'intérêts", en psychologie)_ c'est parce qu'il y a des barrages qui entravent leur désir d'accéder à un rêve inachevé. Je pars du principe que tout est possible, à condition de s'entourer de gens qui nous poussent à croire en nous.
 
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Mais encore …  Up Page
Ce que vous avez toujours voulu savoir
 

Dernières avancées
De remarquables avancées ont pourtant été accomplies récemment. En 1994, lors de la démonstration d'un fameux problème arithmétique, le "dernier théorème de Fermat" (x² + y² = zn n'a pas de solution dans les nombres entiers pour n ³ 3), le Britannique Andrew Wiles a vérifié la formule de Taniyama, qui traduit les équations elliptiques en objets analytiques.
 
Théorie des motifs
Alexander Grothendieck s'est enfoncé seul dans la recherche de cette ultime traduction. Il en a dessiné l'ébauche, la "théorie des motifs", mais n'a jamais réussi à en établir rigoureusement les fondements. "Pour la première fois de Grothendieck venait de buter contre un problème mathématique qu'il ne parvenait pas à résoudre", raconte Laurent Lafforgue. Celui qui est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps arrête brutalement sa quête mathématique en 1970 et quitte l'IHES. Il se retirera du monde quelques années plus tard pour mener une vie d'hermite (S&V n°935 page 52). Il vivrait actuellement très isolé dans un petit village du sud de la France.