Algèbre La petite histoire Comprendre simplement Domaines de présence Son interprétation dans l'avenir Les références Mais encore …

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L'algèbre voit des relations.

La petite histoire  Up Page Origine, raisons, hasard Le nom d' "algèbre" vient du mot arabe "Al jabr", qui signifie la transposition d'un terme d'un membre à l'autre d'une équation. L'algèbre "classique" est la branche des mathématiques qui étudie la résolution des équations. Si un homme donne cinq dollars pour acheter un kilo de pommes et qu'il reçoit deux dollars de monnaie, ses pommes ont coûté 5 - 2 = 3 dollars. En effectuant ce calcul, l'homme reste dans le domaine de l'arithmétique, car il jongle uniquement avec les chiffres. Mais si l'homme poursuit ses achats dans plusieurs magasins, et s'il ne veut pas recommencer plusieurs fois le même calcul, il va créer une formule générale valable pour tous ses achats. Là commence le monde de l'algèbre.   L'homme décide par exemple que la somme qu'il sortira de son porte monnaie sera à chaque fois appelée a. La monnaie qui lui sera rendue sera appelée b, et x représentera le prix payé. Ainsi, à chaque fois que l'homme effectuera un achat dans une boutique, il fera l'opération a - b pour calculer le prix réel de ses achats. a - b = x est appelée "équation à une inconnue" (l'inconnue étant x). On peut augmenter le nombre d'inconnues ou bien augmenter le degré de l'équation - le degré d'une équation étant la puissance la plus haute à laquelle est élevée l'inconnue (l'équation x ²+ x +3 = 5 est une équation de degré 2, car 2 est la puissance la plus haute à laquelle est élevée x) - et effectuer des calculs de plus en plus compliqués.

Comprendre simplement  Up Page Théorie révolutionnaire Il faut attendre le 30 mai 1832 pour que l'antique problème (solutions aux équations arithmétiques) connaisse enfin une avancée majeure. La veille d'un duel dans lequel il trouvera la mort, Evariste Galois, âgé de 20 ans, griffonne dans sa dernière théorie révolutionnaire sur les équations diophantiennes. Le jeune Galois propose qu'on ne perde plus son temps à essayer de calculer les solutions de l'équation, mais qu'on se concentre plutôt sur les relations qui existent entre ses différentes solutions. Ces dernières (qu'il devient inutile de chercher) sont rassemblées dans un ensemble, qui sera baptisé "représentation de Galois" de l'équation. Le jeune mathématicien montre que la seule connaissance de la structure de cet ensemble permet de connaître les propriétés de l'équation de départ.   Le pont de Galois et Grothendieck Plutôt que de chercher les solutions d'équations par l'arithmétique ou la géométrie, le Français Evariste Galois propose, en 1832, d'analyser les relations entre ces solutions. Un siècle plus tard, le Français Alexander Grothendieck généralise cette correspondance à toutes les formes géométriques issues d'équations arithmétiques. Le pont entre géométrie et algèbre (étude des relations entre les éléments d'un ensemble) est édifié.

Domaines de présence  Up Page Monde présent Le théorème fondamental de l'algèbre classique est attribué au mathématicien français Jean le Rond d'Alembert (1717-1783) : "une équation polynomiale de degré n admet n solutions complexes". (Un nombre complexe est un nombre de la forme x + iy, où x et y appartiennent à l'ensemble des nombres réels, et i est un nombre imaginaire tel que i² = -1.) Ce théorème a permis de structurer définitivement les solutions des équations.

Son interprétation dans l'avenir  Up Page L'algèbre "moderne" L'algèbre moderne étudie la structure des ensembles de nombres - l'ensemble des entiers naturels (0, 1, 2, 3, ...) en est un - qu'on a muni de lois, comme celle de l'addition ou de la multiplication. Ces ensembles munis de lois peuvent être des "groupes", des "corps", ou des "anneaux" selon leurs propriétés. Les algébristes modernes étudient les propriétés générales de ces ensembles.   Un "groupe ", par exemple, est un ensemble de nombres muni d'une "loi de composition interne", notée *, et qui possède plusieurs propriétés. La loi, notamment, est associative : quels que soient a, b, c appartenant à l'ensemble de nombres, on a : (a * b) * c = a * (b * c). Elle possède un élément neutre dans l'ensemble de nombres, qu'on appelle e : e est tel que quel que soit a appartenant à l'ensemble, on a : a * e = e * a = a. Enfin, il est nécessaire que quel que soit l'élément pris dans l'ensemble de nombres, cet élément possède un symétrique pour la loi de composition interne, situé dans le même ensemble : a-1 est le symétrique de a; a et a-1 sont tels que a * a-1 = a-1 * a = e.   L'ensemble des entiers relatifs (0, 1, 2, 3, 10, 1000..., -1, -2, -3, -1000...) muni de la loi de composition d'addition (+) forme un groupe. En effet, l'addition y est associative, car quels que soient a, b et c entiers relatifs, (a + b) + c = a + (b + c). L'ensemble des entiers relatifs possède un élément neutre en 0, car quel que soit a entier relatif, a + 0 = 0 + a = a. Et tout entier relatif, par exemple le nombre 4, possède un symétrique pour l'addition dans l'ensemble des entiers relatifs, qui est son opposé, en l'occurrence le nombre - 4.

Les références  Up Page Réseau Pepe Cybersciences Science & Vie   Pourquoi ce site Je crois que, si les êtres humains que nous sommes ne parviennent pas toujours à évoluer comme ils le souhaiteraient _à s'épanouir professionnellement, sentimentalement et sexuellement (ce que j'appelle les "trois pôles d'intérêts", en psychologie)_ c'est parce qu'il y a des barrages qui entravent leur désir d'accéder à un rêve inachevé. Je pars du principe que tout est possible, à condition de s'entourer de gens qui nous poussent à croire en nous.   Contribuer au Réseau Pepe Ce site est avant tout une encyclopédie ouverte à l'imagination et au savoir, où chacun(e) d'entre vous peut participer. Si vous avez envie de partager une passion, ou si vous sentez le besoin de vous exprimer sur un point précis, je vous invite à m'adresser un e-mail (adresse électronique accessible sur ma page d'accueil).

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